ریاضی فیزیک

مطالب اموزشی

آموزش تصاعد هندسی

وساط اضلاع يک مربع به ضلع a را به هم وصل مي کنيم

تا مربع جديدي حاصل شود.

 سپس اوساط اضلاع مربع جديد را به هم وصل مي کنيم تا مربع ديگري حاصل شود.

عمل فوق را تا بی نهایت ادامه مي دهيم.

 به نظر شما حاصل جمع مساحت اين مربع ها را مي توان حساب کرد؟

 حاصل جمع محيط اين مربع ها را چطور؟

براي اينکه به اين پرسش جواب دهيم ابتدا سري به مبحث تصاعدهاي هندسي مي زنيم!

 

تعريف: تصاعد هندسي رشته اي است که هر جمله آن

با ضرب کردن جمله پيش از آن در عددي ثابت مخالف با يک، به دست آيد.

عدد ثابت مـذکور را قدر نسبت تصاعد هندسي مي ناميم.

 و معمولاً آن را با q نمايش مي دهيم.

... و 162 و 54 و 18 و 6 و 2

در اين رشته پنج جمله ابتدايي تصاعد را مي بينيم،

 براي به دست آوردن قدر نسبت کافي است

 هر جمله را بر جمله ماقبل خود تقسيم کنيم.

(هرعدد را بر عدد ماقبل خود تقسيم ميکنيم).

و براي بدست آوردن مثلاً جمله هشتم، بايد جمله هفتم را

 در قدر نسبت که در اينجا 3 است ضرب کنيم.

در تصاعدها جمله ابتدايي يا آغازين نيز داراي اهميت بسزايي است

که آنرا با

 نشان مي دهيم.

 

در بالا سعي کرديم که تمام جملات را بر حسب

فقط قدر نسبت و جمله اول بدست آوريم که بر حسب استقراء داريم:

مثلاً براي تصاعد نمونه ايي که در بالا مطرح شد داریم:

حال مي خواهيم حاصل جمع جملات تصاعد هندسي را بدست آوريم.

 براي اين منظور تصاعد هندسي متناهي را که داراي n جمله باشد، در نظر مي گيريم

و جمله اول آن را

و جمله n ام آن را

و قدر نسبت آن را q مي ناميم

و حاصل جمع را

  مي ناميم.

دو طرف تساوي فوق را در q ضرب مي کنيم.

براي مثال حاصل جمع ده جمله نخستين تصاعد نمونه اي

 که در صفحه قبل مطرح شده را به دست آوريد.

اگر قدر نسبت q مابين 1 و 1- باشد،

مي توان از

   به ازاي مقادير بسيار بزرگ n چشم پوشي کرد. 

پس فرمول فوق برابر

 مي شود.

 

مسئله: مطلوب است محاسبه حاصل جمع زیر:

جواب:

* حال به مسئله اصلي خود برمي گرديم .

مربعي به ضلع a مفروض است،

اوساط آن را به هم وصل مي کنيم،

 در مثلث قائم الزاويه AMN  با توجه به رابطه فيثاغورث مي توان نوشت:

يعني اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

يعني اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

طول ضلع مربع درونـي با تقسيـم طول مربع مادر بر 2√ به دست می آید.

براي يافتن طول ضلع مربع درون،

 دوباره به همان شيوه فوق عمل مي کنيم.

 يعني رابطه فيثاغورث را مي نويسيم.

( البته دانش آموزان تيزهوش ديگر نياز به اين کار ندارند،

 بلکه مي گويند طول ضلع مربع درون هر مربع

طول ضلع مربع بیرونی است. )

يعني طول اضلاع اين مربع ها از قرار زير است:

يعني طول ضلع هر مربع برابر

در طول ضلع مربع بلاواسط بزرگتر از خود است

 که طول ضلع اين مربع ها خود تشکيل يک تصاعد هندسي را مي دهد.

اما مسئله از ما حاصل جمع مساحت ها

و حاصل جمع محيط هاي اين مربع ها را خواسته است.

اگر مساحت مربع اول را با

 و محيط آن را با

نمايش دهيم داريم:

اگر مساحت و محيط مربع دوم را با

نمايش دهيم، داريم:

و همين طور الي آخر.

حال تصاعد مساحت ها را مي نويسيم:

الآن مي خواهيم که مساحت اين مربع ها را با هم جمع کنيم.

در اين تصاعد

است . درنتيجه:

+ نوشته شده در  یکشنبه نوزدهم دی 1389ساعت 19:1  توسط اکبر جودی  |